Fractais - Tapete de Sierpinski

Tapete de Sierpinski é uma figura plana desenvolvida pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski. As características desta figura atualmente são definidas como fractais, termo cunhado por Benoit Mandelbrot. O conjunto descrito pode ser expresso como a união de oito subconjuntos não congruentes e sobrepostos.[1] , cada um dos quais é congruente à contração do conjunto original pelo fator de 1/3. Possui autossimilaridade, iteração infinita e propriedades irregulares.

Na sequência: Inicio, Interação 1, Interação 2, Interação 3, Interação 4 e Interação 5.

O cálculo da área vazada do Tapete de Sierpinki se dará pelo somatório das áreas dos quadrados para n iterações, obtidas através de uma série geométrica convergente. A área do quadrado inicial é da pelo quadrado do seu lado l.

• A área do quadrado da 1ª iteração será um terço do quadrado de seu lado.
• A área do quadrado da 2ª iteração será um nono do quadrado de seu lado.
• A área do quadrado da 3ª iteração será um vinte sete avos do quadrado de seu lado.

E assim, sucessivamente, conforme uma série geométrica convergente tendendo a zero.

Nos séculos XIX e XX algumas formas geométricas com propriedades especiais foram estudadas. Em 1975, Benoit Mandelbrot denominou estas formas de fractais por possuírem a característica da autossimilaridade. Antes da definição apresentada de fractais, alguns objetos matemáticos já possuíam tais características, dentre eles o Conjunto de Cantor; a Curva de Peano; a Curva de Hilbert; a Curva de Koch; a Curva, o Triângulo e o Tapete de Sierpinski e o de Fatou e Julia. Estes objetos eram conhecidos como “demônios” e acreditava-se que não tinham grande valor científico. O fractais só se desenvolveram a partir de 1960 com a ajuda dos computadores. Sierpinski teve seu nome dado a uma das crateras da lua devido a sua grande reputação na década de 1920. Os seus famosos fractais, ou “monstros”, como eram conhecidos na época, são o Triângulo e o Tapete de Sierpinski.

Em relação a sua dimensão, como se trata de um objeto fractal tem valores que não pertencem ao Conjunto dos Números Naturais, ou seja, as dimensões conhecidas seguindo a Geometria Euclidiana são:

O Ponto com dimensão zero;

A Reta com dimensão 1;

O Plano com dimensão 2;

E os Sólidos com dimensão 3.

O Tapete de Sierpinski parte de uma figura plana, porém em sua iteração ocorre a "retirada" de partes, com isso sua dimensão fractal também conhecida como "Dimensão Hausdorff-Besicovitch" tem valor intermediário entre os valores da reta e do plano.